坐标系内一点到直线距离公式及其推导

该公式的各种推导曾是初三课间的乐趣之一。发布本文主要是为了测试Tex是否正常。

前言

点到直线的距离：是指点到直线的垂线段的长度。

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求\(P_0(x_0,y_0)\)到直线\( l:Ax+By+C=0\)的距离的一般步骤：

1. 由直线 \( l\)的斜率求出经过点且与直线垂直的直线的斜率，根据点斜式求出直线的方程。
2. 根据两条直线的方程求出交交点\( Q\)的坐标。
3. 由交点\( Q\)的坐标和\( P\)的坐标，根据两点间距离公式求点到直线的距离。

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• 由于初中不讨论一次函数的一般式即\(l:Ax+By+C=0\)，通常使用斜截式即\(l:y=kx+b\)且此一般步骤较为繁杂，故本文使用面积法推导斜截式的公式。
• 对直线方程有兴趣的可以了解一下直线方程的各种形式

公式

一般式：已知点\(P_0(x_0,y_0)\)和直线\(l:Ax+By+C=0\)

$$
\large x=\frac{\sqrt{Ax_p+Bx_p+C}}{\sqrt{A^2+b^2}}
$$

斜截式：已知点\(P_0(x_0,y_0)\)和直线\(l:y=kx+b\)

$$
\large x=\frac{\sqrt{y_p-kx_p-b}}{\sqrt{k^2+1}}
$$

推导

如图中，分别过P点作\( x\)轴\( y\)轴的平行线，交直线\( l:y=kx+b\)于B、C两点，作\( PD\perp BC\)于\( l\)
则

$$B(x_0,k x_0+b),C(\frac{y_0-b}{k} , y_0)$$

易得

$$\Rightarrow PB=\left|y_B-y_P\right|=\left|k x_0+b-y_0\right|$$

$$
PC=\left|x_B-x_C\right|=\left|x_0-\frac{y_0-b}{k}\right|\=\left| \frac{k x_0+b-y_0}{k} \right|
$$

进而

$$
\Rightarrow BC=\sqrt {(\frac{k x_0+b-y_0}{k})^2+(x_0+b-y_0)^2}\=\frac{\sqrt { \sqrt {k^2+1}(k x_0+b-y_0)^2}}{k}
$$

因为

$$\frac{BP \cdot PC}{2}=\frac{BC \cdot PD}{2}\Rightarrow PD=\frac{BP \cdot CP}{BC}$$

进而

$$
\Rightarrow PD=\frac {\left|k x_0+b-y_0\right| \cdot \left| \frac {k x_0+b-y_0}{k} \right|}{\frac{\sqrt { \sqrt {k^2+1}(k x_0+b-y_0)^2}}{k}} \=\frac {\left|k x_0+b-y_0\right|}{\sqrt {k^2+1}}
$$

证毕。